最近一直在用英语资料存稿水文章，良心过不去，还是更新一篇有代码含量的。
正如大家幼儿园小班老师讲过的，“弹簧串联”相当于“电阻并联”、“弹簧并联”相当于“电阻串联”。
注意，这里说的串联和并联的定义，是依据视觉上的直观感知，头接尾——串联；肩并肩——并联。形象一点——
串联
并联
（网图侵删）
但是我们会发现，串联的弹簧展现出来的，确实和并联的电阻相似的性质。
我们有没有可能来定义一个物理原理上的串联和并联？究竟电阻的串并联是反视觉直观的，还是弹簧的串并联是反视觉直观的？研究这个问题的关键在于跳出 “视觉直观”，从物理量的约束关系探索串并联的规律。
一、广延量与强度量：
物理学中，串并联的核心区别不在于 “连接方式的视觉形态”，而在于元件之间的物理量如何分配。我们可以用 “广延量” 和 “强度量” 来统一定义：
广延量：可以累加的物理量（如电流、电荷量、形变、体积等，总量 = 各部分之和）。强度量：描述 “作用强度” 的物理量（如电压、力、温度等，同一系统中各部分可能相同或不同）。
广延量是指与物质的数量成正比的量，例如体积。它的特点是如果物质的量增加，广延量也会相应增加。与之相对的是强度量，它是描述单位物质或空间的性质，与系统大小无关，例如密度。广延量和强度量的关系在于，广延量可以通过强度量与物质的数量的乘积来描述，例如总热量等于比热容（强度量）与质量（广延量）的乘积。
原理定义：
串联：元件首尾相连，因为没有分支，因此 “广延量”在元件之间持续传递，“广延量”相同，而在传递过程中，元件两端的 “强度量” 累计叠加（总强度量 = 各部分强度量之和）。并联：元件并肩排列，因为元件 “并列连接”，两端的 “作用强度” 一致， “强度量” 相同，而“广延量”在分支中分流叠加（总广延量 = 各部分广延量之和）。
二、电阻和电容
①电阻
电阻涉及的物理量为：
广延量：电流（I，单位时间流过的电荷量，可累加）强度量：电压（U，推动电荷流动的 “动力”，描述电场强度）电阻定义式：R=U/I
电阻串联（广延量相同，在定义式作分母）：
电流相同（电荷只能依次流过每个电阻，所以 I总 = I1=I2=...）
总电压 = 各电阻电压之和（U总 = U1+U2+...）
由欧姆定律（U=IR），推导得总电阻 R总 = R1+R2+...
电阻并联（强度量相同，在定义式作分子）：
电压相同（U 总 = U1=U2=...，因为所有电阻两端都接在同一电源两极）
总电流 = 各支路电流之和（I总 = I1+I2+...）
由欧姆定律推导得 1/R总 = 1/R1+1/R2+...
②电容
电容涉及的物理量为：
广延量：电荷量（Q，电容器储存的电荷总量，可累加）强度量：电压（U，电容器两极板间的电势差，描述电场的 “驱动能力”）电容定义式：C=Q/U
电容串联（广延量相同，在定义式作分子）：
电荷量相同（Q 总 = Q1=Q2=...，因为串联时电荷无法在极板间自由流动，每个电容器储存的电荷量相等）
总电压 = 各电容电压之和（U 总 = U1+U2+...，总电压由各电容分压叠加）
由电容定义式（Q=CU），推导得 1/C总 = 1/C1+1/C2+...
电容并联（强度量相同，在定义式作分母）：
电压相同（U总 = U1=U2=...，因为所有电容器两端均接在同一电源两极，极板间电势差相等）
总电荷量 = 各电容电荷量之和（Q总 = Q1+Q2+...，总电荷由各电容储存量累加）
由电容定义式推导得 C总 = C1+C2+...
三、弹簧
弹簧是力学元件，涉及的物理量为：
广延量：形变（x，弹簧的伸长 / 压缩量，可累加）强度量：力（F，弹簧受到的拉力 / 压力，描述作用强度）劲度系数：k=F/x
弹簧串联（强度量相同，在定义式作分子）：
力相同（F 总 = F1=F2=...，因为串联的弹簧共同承担同一个力，如挂一个重物，每个弹簧受力相同）
总形变 = 各弹簧形变之和（x 总 = x1+x2+...，每个弹簧的形变累加）
由胡克定律（F=kx），推导得 1/k 总 = 1/k1+1/k2+...（k 为劲度系数）。
弹簧并联（广延量相同，在定义式做分母）：
形变相同（x 总 = x1=x2=...，因为并联的弹簧两端固定，伸长 / 压缩量相同），
总力 = 各弹簧受力之和（F 总 = F1+F2+...，每个弹簧分担一部分力）。
由胡克定律推导得 k 总 = k1+k2+...。
四、为什么会觉得 “相反”？
弹簧的视觉串并联与基于强度量和广延量关系定义的串并联是颠倒的，这一点需要直接承认。
具体来说，关键差异源于物理量的 “强度 / 广延属性”：
电阻中，“电压（强度量）” 和 “电流（广延量）” 的属性，让视觉串并联直接对应本质定义（头接尾 = 串联，肩并肩 = 并联）；弹簧中，“力（强度量）” 和 “形变（广延量）” 的属性，导致视觉串并联与本质定义颠倒：
视觉串联（头接尾）→ 本质并联（强度量相同，广延量相加）；视觉并联（肩并肩）→ 本质串联（广延量相同，强度量相加）。
这种 “颠倒” 不是原理错误，而是不同物理量的属性差异导致的规律对应关系不同。就像用 “温度（强度量）” 和 “热量（广延量）” 分析热传递时，串并联规律也会和电阻不同 —— 核心逻辑（强度量与广延量的分配规则）不变，但具体对应关系随物理量变化而调整。
五、仿个真吧
串联弹簧
并联弹簧
——图片来自南京大学《声学基础》质点振动学
声音由振动产生，所以振动学是研究声学的基础。
今天我们不研究声音，只模拟振动。
% 弹簧 - 质点系统振动仿真
function spring_mass_simulation
% 可调节参数
K1 = 1; % 弹簧1劲度系数，N/m
K2 = 0.1; % 弹簧2劲度系数，N/m
M = 1; % 质点质量，kg
x0 = 1.1; % 初始位移，m
v0 = 100; % 初始速度，m/s
t_end = 10; % 仿真时间，s
spring_type = 'series'; % 可设置为'series'（串联）或'parallel'（并联）
% 根据串并联设置等效劲度系数
if strcmp(spring_type, 'series')
K_equivalent = (K1*K2)/(K1 + K2);
else
K_equivalent = K1 + K2;
end
% 定义微分方程
odefun = @(t, x) [x(2); -K_equivalent/M * x(1)];
% 初始条件 [位移; 速度]
x0_vec = [x0; v0];
% 时间点
t = linspace(0, t_end, 1000);
% 求解微分方程
[t_sol, x_sol] = ode45(odefun, t, x0_vec);
% 计算固有频率（从仿真结果中通过FFT分析 ）
y = x_sol(:, 1); % 取位移数据
Fs = length(t)/(t(end)-t(1)); % 采样频率
Y = fft(y);
f = Fs/2 * linspace(0, 1, length(Y)/2+1);
P = abs(Y(1:floor(length(Y)/2)+1));
[~, idx] = max(P(2:end)); % 找峰值（排除直流分量 ）
f_calculated = f(idx+1);
% 理论固有频率
f_theory = (1/(2*pi))*sqrt(K_equivalent/M);
disp(['等效劲度系数：', num2str(K_equivalent), ' N/m']);
disp(['理论固有频率：', num2str(f_theory), ' Hz']);
disp(['仿真计算固有频率：', num2str(f_calculated), ' Hz']);
% 绘图
figure;
plot(t_sol, x_sol(:, 1), 'LineWidth', 1.5);
xlabel('时间 (s)');
ylabel('位移 (m)');
title([spring_type, ' 弹簧 - 质点系统振动曲线']);
grid on;
end